离散模拟每一步都要先后更新速度与位置。即使使用同一条恢复力公式，位置使用旧速度还是新速度，也会产生不同的轨迹和能量变化。

质量取一，恢复加速度为负k乘位置，步长为h。显式方法同时按旧状态计算新位置和新速度；半隐式方法先用旧位置更新速度，再用新速度更新位置。两种方法都从同一组位置和速度出发。

本例输入与约定

初始位置12、速度4，弹簧常数1，步长1/2。记录初始及十二次更新。

完整计算记录

步 | 显式位置/速度/两倍能量 | 半隐式位置/速度/两倍能量 0 | 12/4/160 | 12/4/160 1 | 14/-2/200 | 11/-2/125 2 | 13/-9/250 | 29/4/-15/2/1741/16 3 | 17/2/-31/2/625/2 | 27/16/-89/8/32413/256 4 | 3/4/-79/4/3125/8 | -275/64/-383/32/662381/4096 5 | -73/8/-161/8/15625/32 | -2357/256/-1257/128/11875645/65536 6 | -307/16/-249/16/78125/128 | -12099/1024/-2671/512/174922765/1048576 7 | -863/32/-191/32/390625/512 | -46981/4096/1415/2048/2215223261/16777216 8 | -1917/64/481/64/1953125/2048 | -135283/16384/52641/8192/29385789613/268435456 9 | -3353/128/2879/128/9765625/8192 | -195285/65536/345847/32768/516576820861/4294967296 10 | -3827/256/9111/256/48828125/32768 | 797533/262144/1578673/131072/10604892649805/68719476736 11 | 1457/512/22049/512/244140625/131072 | 8707291/1048576/5517159/524288/197573090283805/1099511627776 12 | 24963/1024/42641/1024/1220703125/524288 | 48190509/4194304/13361345/2097152/3036427318515181/17592186044416

表中编号仅用于识别本例的元素。读取一个结果时，应先核对它对应的输入、处理顺序和边界约定；布尔值表示条件是否成立，空集合表示没有符合要求的对象，不应把这些字段混成同一种数值。

复核方法与适用范围

每一步记录位置、速度和速度平方加k乘位置平方；最后一项是理想弹簧系统能量的两倍。计算保留精确分数，避免把舍入误差混进更新顺序的比较。

本例没有阻尼、碰撞或外力，也不保证任意步长都稳定。半隐式方法并非每一步都严格保持真实能量；选择步长仍应结合具体系统，不能把某一份表的表现当成所有参数的结论。

练习时可以先独立计算最前面的一步，再检查最后的整体不变量。若结论不同，应保留各步记录，定位第一处差异；只调整最终数字会掩盖规则理解上的问题。改变输入后也要重新演算，而不是照抄这一例的输出。